论文精读

精读：TrimSFT —— 只让「中间那一段置信度」的 token 参与 SFT

TrimSFT 用 gold token 与最强竞争者的 logit gap 做高斯带通加权，剪掉已掌握与学不会的两端；本专栏按题量与论文自身消融列重算，发现相对最强基线 DFT 的领先幅度小于论文的噪声地板，而机制解释与其附录数据脱钩

论文： Which Tokens Should SFT Actually Learn? A Token-Trimming Perspective on Mathematical Reasoning

作者： Yaning Jia, Chunhui Zhang, Wenxuan Xu, Xingjian Diao, Xiaoyuan Wang, Soroush Vosoughi

2026年9月14日 TrimSFT token 级加权 SFT 数学推理 logit gap 后训练置信度 cs.AI

1 论文概览

一句话总结：TrimSFT 用「gold token 与最强竞争者的 logit 差值」给每个 token 的交叉熵加权，权重是一条以 margin $m$ 为中心、带宽 $\tau$ 的高斯带，把监督信号同时从「已经会了」和「现在学不会」两端剪掉，只喂给中间那一段。

核心问题：标准 SFT 对所有目标 token 施加等权交叉熵。在数学推理轨迹里，这个等权假设有两处浪费——已经分得很开的 token 继续被 sharpen，逼近过拟合；本来就超出模型当前能力的 token 贡献巨大 loss，把优化方向带偏。论文要问的是：如果能按 token 分配监督预算，该分给谁。

主要贡献

提出 TrimSFT（Trimmed Logit-Gap SFT），一个 token 级重加权方法。权重从当前 forward 的 logits 直接算，加 stop-gradient，不需要参考模型、不需要额外前向（§3.1）。
在 6 个基座模型（Llama3.2-3B / Llama3.1-8B / DeepSeekMath-7B / Qwen2.5-Math-1.5B / Qwen2.5-Math-7B / Qwen3-4B-Base）× 5 个数学基准上验证，6 个模型全部超过标准 SFT，5 个模型取得最佳平均成绩；MATH500 上 TrimSFT 在 6 个模型全部第一，最大增益 Qwen2.5-Math-1.5B 的 40.02 → 66.95（+26.93）。
给出两个 half-trim 变体（TrimSFT-E / TrimSFT-H）做分解，把「双侧裁剪」拆成「只剪难侧」与「只剪易侧」两条臂，并配梯度质量分析（附录 E）与词类分析（附录 F）。
消融结论：带宽 $\tau$ 比中心 $m$ 更关键；附录 C 用有效 token 比 $R_{\mathrm{eff}}$ 量化了这一点。
代码开源（github.com/karpning/TrimSFT），实验用 RTX A6000 × 2，单 epoch，20K NuminaMath-CoT 样本。

“TrimSFT trims supervision away from both extremes: tokens already mastered (large logit gap) and tokens weakly supported by the current model (small or negative logit gap), concentrating learning within an intermediate logit-gap region between them.” —— 摘要

2 方法详解

2.1 方法概述

设 $z_t$ 是位置 $t$ 的 logits，gold token 为 $y_t$ 。定义 logit gap

$\Delta_t = z_{t,y_t} - \max_{v \neq y_t} z_{t,v}$

即 gold token 与最强竞争者之间的间隔。 $\Delta_t > 0$ 说明 gold 已经是 top-1，绝对值越大分离越彻底。

TrimSFT 的权重是一条高斯带：

$w_t = \exp\!\left(-\frac{(\Delta_t - m)^2}{2\tau^2}\right)$

$\mathcal{L}_{\text{TrimSFT}} = -\sum_{t=1}^{T} \operatorname{sg}(w_t)\,\log\pi_\theta(y_t \mid x, y_{<t})$

$\operatorname{sg}$ 表示 stop-gradient。 $m$ 决定「把学习集中在哪个 logit gap 区间」， $\tau$ 决定这个区间有多宽。论文在全部主实验里统一用 $(m,\tau) = (1.5, 0.8)$ ，没有按模型或基准调。

2.2 关键创新点

用 logit gap 而不是概率做打分。 这是与同族工作（DFT、Focal Loss、Rho-1）最实质的分野。论文的论证是：

“unlike the gold-token probability, which tends to saturate in high-confidence regimes, the logit gap remains discriminative even when probabilities would otherwise appear nearly indistinguishable.” —— §3.1

概率在 0.99 与 0.999 之间几乎看不出差别，logit gap 却还能差出一两个数量级。这个选择在数学推理场景下站得住——数字与符号 token 的分布头部很尖。

非单调的权重曲线。 DFT 与 Focal Loss 都是单调的：DFT 按 $p_{t,y_t}$ 加权（越会越学），FSFT 按 $(1-p_{t,y_t})^\gamma$ 加权（越不会越学）。TrimSFT 是带通——两端都压，中间给满。论文在 §3.3 把四种方法写成统一形式，这个对照做得干净：

方法	权重 $w_t$	单调性
SFT	$1$	常值
FSFT	$(1-p_{t,y_t})^{\gamma}$	单调递减（偏向难 token）
DFT	$p_{t,y_t}$	单调递增（偏向易 token）
TrimSFT	$\exp(-(\Delta_t-m)^2 / 2\tau^2)$	非单调（带通）

零额外开销。 权重来自同一 forward 的 logits，取 top-2 后相减即可，无需参考模型（Rho-1 需要）、无需预计算掩码（CFT 需要）。工程上是十行代码的改动。

2.3 与基线方法的区别

两个 half-trim 变体把双侧裁剪拆开：

TrimSFT-E：只剪难侧。 $\Delta_t \ge m$ 时权重恒为 1， $\Delta_t < m$ 才走高斯衰减。
TrimSFT-H：只剪易侧。 $\Delta_t \le m$ 时权重恒为 1， $\Delta_t > m$ 才走高斯衰减。

这个设计的价值在于它让「双侧裁剪是否必要」变成一个可证伪的命题，而不是一句主张。

3 实验结果

3.1 主要指标

主指标是 average@8（每题采样 8 次，温度 1.0，top-p 1.0，取平均正确率）。下表是六个模型 × 五个基准的 Avg 列（完整数据见论文 Table 1）：

模型	Base	SFT	FSFT	DFT	TrimSFT
Llama3.2-3B	0.90	1.90	0.98	3.16	4.14
Llama3.1-8B	1.18	4.34	1.29	7.21	7.84
DeepSeekMath-7B	2.23	8.75	2.71	15.67	15.52
Qwen2.5-Math-1.5B	14.63	15.47	3.27	29.30	31.77
Qwen2.5-Math-7B	20.42	20.95	5.95	35.04	35.98
Qwen3-4B-Base	17.06	19.25	4.27	28.41	29.00

三个可以直接读出来的事实：

FSFT 全线崩盘。三个数学专用或 Qwen 系模型上，FSFT 低于不训练（Qwen2.5-Math-1.5B 只有 3.27，Base 是 14.63）；三个通用模型上也只比 Base 高 0.08 到 0.48 分。
TrimSFT 与 DFT 很接近，差值在 −0.15 到 +2.47 之间。
标准 SFT 对 Qwen 系模型几乎无效：Qwen2.5-Math-7B 上 SFT 只把 Avg 从 20.42 提到 20.95（+0.53）。

3.2 与最强基线的对比

论文的 headline 是 +26.9 分。把对照行定位清楚之后，这个数字的口径是：

“with gains of up to +26.9 points over SFT on MATH500” —— 摘要

具体是 Qwen2.5-Math-1.5B 在 MATH500 上的 40.02 → 66.95。同一个格子换几个减数：

对照	差值
vs SFT	+26.93
vs DFT	+3.78
vs Base	+35.50

相对 SFT 的增益是相对 DFT 的 7.12 倍。

把六个模型的 Avg 列摊开，DFT 已经吃掉了 TrimSFT 相对 SFT 增益的平均 85.5%：

模型	TrimSFT − SFT	DFT − SFT	DFT 占比	TrimSFT − DFT
Llama3.2-3B	+2.24	+1.26	56.3%	+0.98
Llama3.1-8B	+3.50	+2.87	82.0%	+0.63
DeepSeekMath-7B	+6.77	+6.92	102.2%	−0.15
Qwen2.5-Math-1.5B	+16.30	+13.83	84.8%	+2.47
Qwen2.5-Math-7B	+15.03	+14.09	93.7%	+0.94
Qwen3-4B-Base	+9.75	+9.16	93.9%	+0.59

DeepSeekMath-7B 上 DFT 反超。这解释了摘要里那句「five out of six」——第六个输给了 DFT，不是输给了 SFT。

3.3 消融实验关键发现

（a） $\tau$ 比 $m$ 重要，但两者的敏感度都需要标定。 附录 B 的四张扫参表（Qwen2.5-Math-1.5B，Avg 列）：

扫描维度	最小值	最大值	极差	标准差
固定 $\tau=1$ ，扫 $m$ （8 档）	28.43	32.54	4.11	1.34
固定 $\tau=6$ ，扫 $m$ （8 档）	18.81	25.12	6.31	2.52
固定 $m=1$ ，扫 $\tau$ （8 档）	18.81	31.77	12.96	4.70
固定 $m=6$ ，扫 $\tau$ （8 档）	24.18	33.10	8.92	2.96

$\tau$ 的极差（12.96）确实是 $m$ 的极差（4.11）的 3.15 倍，论文的排序结论成立。但固定 $\tau=1$ 扫 $m$ 这一列本身摆动 4.11 分——论文称这个维度「不敏感」，实际摆幅与 §3.2 里 TrimSFT 领先 DFT 的幅度是同一量级。

（b） $R_{\mathrm{eff}}$ 与精度强负相关。 附录 C 定义了有效 token 比 $R_{\mathrm{eff}} = (\sum w_t)^2 / (N \sum w_t^2)$ ，并给了 8 个配置的数据：

“A larger $R_{\mathrm{eff}}$ indicates that supervision is distributed more uniformly across tokens, with uniform SFT corresponding to $R_{\mathrm{eff}} = 1$ .” —— 附录 C

把这 8 个点做相关分析， $R_{\mathrm{eff}}$ 与 Avg 的 Pearson 系数是 −0.83，高权重 token 占比与 Avg 是 −0.84。也就是说，被真正拿来训练的 token 越少，成绩越好。 $R_{\mathrm{eff}}=0.212$ （14.92% 的 token 权重 > 0.5）拿 30.58， $R_{\mathrm{eff}}=1.000$ （全部 token）拿 15.47。

（c）half-trim 的胜负取决于看哪个基准。 附录 D 补了正文没报的 $m \in \{2,4\}$ 两行，凑齐 $m \in \{1,2,3,4,5\} \times$ 三个基准共 15 格：TrimSFT 胜 7 格，TrimSFT-E 胜 8 格。按基准拆开看，胜负分布很不均匀：

基准	TrimSFT 胜	题量
MATH500	1 / 5	500
AMC	2 / 5	约 40
AIME24	4 / 5	约 30

在题量最大的 MATH500 上，单侧的 TrimSFT-E 赢 4 个 margin；双侧裁剪的优势几乎全部落在题量最小的 AIME24。附录里还留了一处 0.01 分的反转（ $m=2$ ：TrimSFT 7.09 vs TrimSFT-E 7.10）。

（d）梯度质量分析。 附录 E 按 low / middle / high 三个 gap 区间统计加权后的梯度占比：

$m$	方法	Low	Middle	High	Avg（ $\tau=1$ ）
1	TrimSFT	22.18	73.14	4.68	30.58
3	TrimSFT	39.36	58.07	2.57	30.03
5	TrimSFT	45.00	52.60	2.39	30.63
1	TrimSFT-H	71.78	26.71	1.50	—

4 个人分析

4.1 亮点

零成本换来的增益，工程价值高于方法新颖度。 不需要参考模型、不需要预计算、不需要额外前向，权重 detach 之后就是一个逐 token 的系数。对一个已经跑着的 SFT pipeline，这是一个下午就能加完的改动，而且不改变推理期的任何东西。

主实验没有在测试集上挑超参。 论文全局锁死 $(m,\tau)=(1.5,0.8)$ ，而附录网格里存在更好的点—— $(6, 0.5)$ 拿 33.10，比主实验报的 31.77 高 1.33 分；网格中有 2 个点高于主实验。论文没有换过去。这种「宁可低估自己也不调参」的做法在当下的投稿里不多见。

把主张做成了可证伪的结构。 half-trim 两个变体 + 梯度质量 + 词类三层分解，读者可以自己判断哪一层成立。§3.3 的统一权重表也是好写法，一张表把 SFT / FSFT / DFT / TrimSFT 放在同一个坐标系里。

诚实交代了与 DFT 的接近。 §5 直接写了 DFT 的 gap 分布「appears closer to TrimSFT than to standard SFT」。这句话为后面的批判埋了伏笔，作者没有回避。

4.2 局限性

（1）标准 SFT 在这组实验里本身就是个坏基线。 把 Table 1 的 SFT 行与 Base 行对减，Qwen 系三个模型上有大量负号：

模型	MATH500	OlyBench	Minerva	AMC	AIME24	Avg
Qwen2.5-Math-1.5B	+8.57	−4.12	+1.63	−1.04	−0.82	+0.84
Qwen2.5-Math-7B	+10.58	−1.54	+4.03	−0.41	−10.00	+0.53
Qwen3-4B-Base	+13.10	−2.06	+3.34	−0.90	−2.49	+2.19

Qwen2.5-Math-7B 上，20K NuminaMath-CoT 做一轮标准 SFT 把 AIME24 从 11.66 打到 1.66。TrimSFT 在这块拿到 8.76，比 SFT 好得多，但仍低于 Base 的 11.66。在这里，「相对 SFT +26.9」与「相对不训练 +31.08」讲的是两个不同的故事：前一个衡量的是修复效果，后一个才是方法本身的净贡献。论文通篇只报前一个。

（2）相对 DFT 的领先幅度小于论文自己的噪声地板。 六个模型上 TrimSFT − DFT 为 +0.98 / +0.63 / −0.15 / +2.47 / +0.94 / +0.59，其中 5 个小于 1.34 分——这正是论文自己「对 $m$ 不敏感」那一列的标准差。用 MATH500（500 题，题量明确）做一次标准误估算，取单题正确率的上界方差 $\sqrt{p(1-p)}$ ：

模型	TrimSFT − DFT（MATH500）	标准误	比值
Llama3.2-3B	+0.67	1.31	0.51
Llama3.1-8B	+1.18	1.82	0.65
DeepSeekMath-7B	+0.38	2.18	0.17
Qwen2.5-Math-1.5B	+3.78	2.10	1.80
Qwen2.5-Math-7B	+1.40	2.03	0.69
Qwen3-4B-Base	+0.15	2.17	0.07

六个模型里只有一个达到 1.8 倍标准误，其余全在 0.7 倍以下。AIME24 上更松：按 30 题估，Qwen2.5-Math-1.5B 的标准误约 5.95 分，而论文据以断言「TrimSFT 在 AIME24 上全部 margin 最优」的 TrimSFT vs TrimSFT-E 差值只有 4.56 分。全文没有种子方差、没有置信区间、没有显著性检验。

（3）机制解释与论文自己的数据脱钩。 §4.5 给出的解释是：

“suppressing low-gap tokens appears to be the primary source of stability, whereas trimming high-gap tokens provides an additional regularization effect.” —— §4.5

附录 E 恰好能检验这句话。把 $m$ 从 1 拉到 5，low 区梯度占比从 22.18% 涨到 45.00%（2.03 倍），而同一批配置的 Avg 是 30.58 → 30.03 → 30.63，变动 +0.05 分，相关系数 −0.21。被论文称作「稳定性的主要来源」的那个量翻倍了，成绩纹丝不动。把 middle 区占比（73.14 → 52.60）与 high 区占比（4.68 → 2.39）一并看，三个区间的占比全都大幅变动，Avg 全部停在 30 分附近。这组数据的读法应当是「这三个区间的梯度分配对结果不敏感」，而不是「某一侧是主要来源」。

（4）双侧裁剪的必要性只在题量最小的基准上成立。 见 §3.3(c)。在 500 题的 MATH500 上，只剪难侧的 TrimSFT-E 赢 5 个 margin 里的 4 个；论文的结论主要靠 30 题量级的 AIME24 撑着。更值得说的是，half-trim 对照只报了 3 个基准，主表里有的 OlyBench 与 Minerva 被略去了，而这两个的题量与难度都居中，缺了它们就无法判断 TrimSFT-E 的优势是普遍现象，还是只出现在被挑出来的这三个基准上。

（5） $\tau \to 0$ 的极限没有手臂。 附录 B 里 $(1, 0.1)$ 的 Avg 是 31.77，与全局主实验 $(1.5, 0.8)$ 的 31.77 完全相同。 $\tau=0.1$ 时高斯带退化成一个近乎 delta 的窄窗，能拿到梯度的 token 只剩极小一撮，结果与精心设定的 $(1.5, 0.8)$ 打平。这意味着「高斯带 + 带宽」这个形式不是必需的，一个 top- $k$ 硬选择或一个简单的阈值规则有同样的机会。论文缺这条对照臂，于是无法区分「带通形状重要」与「只要训得少就有效」。结合 §4.2(2) 的 $R_{\mathrm{eff}}$ 相关（−0.83），后一种解释的证据反而更厚。

（6）词类分析的数字与叙事方向不一致。 附录 F 把 40,082 个 response token 分成四类：

类型	token 占比	平均 TrimSFT 权重	相对全体均值	SFT 梯度份额	TrimSFT 梯度份额
数字 Num.	15.39%	0.132	0.82×	5.55%	10.31%
数学符号 MS	22.49%	0.191	1.19×	15.76%	22.78%
推理连接词 RC	0.82%	0.053	0.33×	2.55%	0.65%
其他 Other	61.30%	0.158	0.98×	76.14%	66.25%

论文的叙述是 TrimSFT 给了数字与符号 token 更大的梯度份额，这在份额层面成立。但看平均权重这一列：数字 token 是 0.132，低于全体均值 0.161，也低于「其他」类的 0.158。方法并没有把权重向数字倾斜，份额上升是因为高梯度的数字 token 恰好落在带内。真正被压下去的是推理连接词（0.053，均值的三分之一），但这类 token 只占 0.82%，不足以解释那 10 个百分点的转移。

还有一个更直白的数字：TrimSFT 之下，「其他」类仍然吃掉 66.25% 的梯度质量，相对 SFT 的 76.14% 只削减了 13.0%。一个以「把监督集中到中间带」为卖点的方法，三分之二的优化信号依旧落在分类笼统的通用 token 上。

（7）适用范围与评估口径。 作者自陈：

“TrimSFT is evaluated primarily on mathematical reasoning benchmarks with supervised fine-tuning from base models, so its effectiveness on broader domains such as code generation, open-ended instruction following, or long-form reasoning remains to be further studied.” —— Limitations

补充两点作者没写的。其一，全部六个模型都是 base 而非 instruct，而 SFT 通常是 instruct 流程的一环，base 上的结论不能直接外推。其二，Llama 系两个模型的绝对水平很低（TrimSFT 的 Avg 只有 4.14 与 7.84），20K 样本 / 单 epoch / max_len 2048 是一个偏弱的配方；方法在通用基座上的实际收益，与在数学专用基座上的收益，看起来不是一回事。

4.3 对大模型领域的影响

SFT 的优化单元继续下沉。 从样本级（过滤数据）到序列级（加权序列）再到 token 级（本方法与 DFT、Rho-1、CFT 同层）。这条线上的共同点是：难度不再由外部标注定义，而是由模型自身状态定义。不需要额外的难度打分模型，不需要 LLM 裁判，权重的定义域是当前 forward 已经算出来的量。

「少学一点」比「怎么学」更关键。 本专栏上一期（E-SFT）的发现是删掉中间段有效，这一期的 $R_{\mathrm{eff}}$ 相关是 −0.83。两篇论文的机制主张完全不同，却都指向同一个操作方向——减少参与训练的 token。如果这个方向成立，接下来该做的不是设计更精巧的权重形状，而是确定最优的监督预算比例（ $R_{\mathrm{eff}}$ 该取多少），以及这个比例随模型规模、数据量、数据噪声怎么变。论文没有把这个量当作超参去扫，而是扫了 $m$ 与 $\tau$ 两个控制形状的参数。

与 E-SFT 构成一组镜像。 上一期问「轨迹的中间段要不要」，答案是删掉中间、保留首尾，判据是位置；这一期问「哪些 token 该学」，答案是保留中间带、剪掉两端，判据是 logit gap。两者对同一批 token 的处理相反。放在一起读的结论是：「哪些 token 有价值」没有位置上的普适答案，它是一个随模型当前状态变化的量。位置是静态先验，logit gap 是动态测度，后者的信息量更大，代价是它随训练过程漂移——论文没有消融「权重每步重算」与「权重冻结在初始检查点」的差异。

一个值得警惕的信号。 在这组实验里，让基线显得很差的不是 TrimSFT 有多强，而是标准 SFT 在数学专用基座上（Qwen2.5-Math-7B 的 AIME24 从 11.66 掉到 1.66）几乎把模型训坏了。任何「相对 SFT 提升 N 分」的论文，都值得先把 Base 那一列读一遍。

5 实践启示

5.1 可以借鉴的技术

逐 token 的 logit gap 打分，可以脱离 TrimSFT 单独用。 $\Delta_t = z_{t,y_t} - \max_{v\neq y_t} z_{t,v}$ 这个量算起来几乎免费（top-2 logits 相减），而且比 gold 概率更适合做数据侧的诊断。在合成 CoT 数据上跑一遍 teacher forcing，把 $\Delta_t$ 的分布画出来，能直接看出两件事：数据里有多少 token 是模型已经会的（高 gap，训练是浪费），有多少是模型当前学不了的（负 gap，标签噪声的富集区）。这个诊断在动训练配方之前就该做。

stop-gradient 的逐 token 重加权是一个通用的插槽。 任何「我有办法给 token 打分」的想法，都可以塞进 $\mathcal{L} = \sum_t \operatorname{sg}(w_t)\,\ell_t$ 这个形式里，而不必改动优化器、学习率或模型结构。论文的 §3.3 已经把 SFT / FSFT / DFT / TrimSFT 都写进这个框架，自定义权重只需要替换 $w_t$ 。

如果只想要大部分收益，DFT 是更省事的选择。 $w_t = p_{t,y_t}$ ，一行代码，无超参，拿走 TrimSFT 相对 SFT 增益的 85.5%。Gaussian 带换来的是剩下那 1 分上下，代价是两个超参和一次扫参。先上 DFT，把 SFT 基线的水位抬起来，再判断值不值得为额外的 1 分去调 $\tau$ 。

落地前必做的两件事：

先跟 Base 比，不只是跟 SFT 比。 本论文 Table 1 里 Qwen2.5-Math-7B 的 SFT 在 AIME24 上比 Base 低 10 分。如果基线本身在退化，「相对基线的提升」衡量的是修复量，不是方法量。
在题量最大的那个基准上判胜负。 论文的 half-trim 结论在 500 题的 MATH500 上与在 30 题量级的 AIME24 上指向相反。题量 30 时，标准误已经在 5 分量级，4 分的差值不足以支撑任何结论。

超参的取值顺序。 论文自己的结论是 $\tau$ 比 $m$ 重要（极差 12.96 vs 4.11）。实操上：先固定 $m \approx 1.5$ 不动，只扫 $\tau \in \{0.1, 0.5, 1\}$ ； $m$ 用默认值即可。若算力允许，把 $\tau$ 压到 0.1 附近试一次——论文数据显示这不会损失精度（ $(1,0.1)$ 与主实验打平），如果成立，说明起作用的只是「极少数 token 参与训练」，那么一个 top- $k$ 硬掩码就够，连高斯都不用算。

5.2 潜在应用场景

数学 / 代码等有明确 gold token 的 SFT。 这是论文的验证域，也是 logit gap 语义最清晰的域——「最强竞争者」是另一个数字或另一个符号，间隔的含义无歧义。

自蒸馏与合成数据训练。 教师生成的 CoT 噪声集中在高不确定步，正是低 gap 区间。TrimSFT 的难侧裁剪对这类数据应当比对人工标注数据更有效。论文没有分数据质量做消融，这是一个空的对照位。

小模型蒸馏大模型。 学生容量不足时，大量 token 会长期停留在负 gap 区间，标准 SFT 会持续在这些 token 上产生大梯度。剪掉这一侧（TrimSFT-E 已足够）相当于给学生一个与容量匹配的课程。论文化六模型跨度只到 8B，容量极小的一端（< 1B）没有覆盖。

暂不建议的场景。 开放式指令跟随与长文本生成：这类任务没有清晰的「最强竞争者」语义，答案的多样性本身是有价值的，压低高 gap token 会削弱流畅度；把低 gap token 剪掉，又恰好剪掉了创造性措辞最密集的区间。作者在 Limitations 里把这一条列为未验证，我倾向于认为它未必成立。

参考文献

Jia, Y., Zhang, C., Xu, W., Diao, X., Wang, X., & Vosoughi, S. (2026). Which Tokens Should SFT Actually Learn? A Token-Trimming Perspective on Mathematical Reasoning. arXiv:2609.09707 [cs.AI]. Dartmouth College; Carnegie Mellon University.