论文精读

精读：把 prompt 课程从「排难度」换成「排目标」——Fisher–Rao 弧长上的高斯课程 ARCUS

ARCUS 把 GRPO 的 prompt 采样搬到 Bernoulli 族的 Fisher–Rao 弧长坐标 ψ=arcsin√p，在这个坐标上放一个高斯核当课程：核的中心是要优化的目标，宽度由目标给出，位移由浪费预算决定，一行不改 GRPO 的损失却把平均分抬高 2.8–2.9 点、比 dynamic sampling 少花 48–57% 的 rollout。

论文： Prompts Live on an Arc: Gaussian Curricula in Fisher–Rao Coordinates for Rollout-Efficient GRPO

作者： Mei Okonkwo, Pixel Nomand, Julian Berg, Elena Voss, Lena Park, Marcus Hale, Adrian Cho, Sofia Reyes

arXiv： 2609.38018

2026年10月1日强化学习 GRPO RLVR 课程学习信息几何数据选择算力效率数学推理

1 论文概览

一句话总结：ARCUS（ARc-length CUrriculum Sampling）把 GRPO 的「这一轮挑哪道题来 rollout」搬到 Bernoulli 族的 Fisher–Rao 弧长坐标 $\psi=\arcsin\sqrt{p}$ 上，在弧上放一个高斯核当作课程——核的中心就是你想优化的目标（pass $^k$ ↔ pass@ $1$ ↔ pass@ $k$ 家族里的某一个），核的宽度由目标自己给出，核往哪移由一个「预计浪费」预算 $\varepsilon$ 决定；它一行都不改 GRPO 的损失，只替换采样器，在三个 backbone 上把 GRPO 的六基准平均分抬高 2.8–2.9 点，比 dynamic sampling（DS）高 1.1–1.2 点，生成的 rollout 比 DS 少 48–57%。

核心问题：GRPO 对每个 prompt 采 $G$ 条响应，用组内均值与标准差归一化奖励。一组响应全对或全错时标准差为 0、每条 advantage 恒为 0，梯度为零，而 $G$ 次 rollout 已经付过钱了。论文在引言里点出这类零方差组「约占均匀采样 batch 的一半，且比例随策略变强而上升」，本文表 2 实测 GRPO 的有信息组占比只有 47%。

主要贡献（对应论文 §1 的四条自述）：

几何：证明弧长 $\psi$ 是 GRPO 的原生坐标，并给出四条性质——期望更新在弧上均匀（Prop. 1，只差两端宽约 $1/\sqrt{G}$ 的斜坡）、零方差概率被 $e^{-G\psi^{2}}+e^{-G(\pi/2-\psi)^{2}}$ 两条高斯边界层界住（Prop. 2）、 $n$ 次 rollout 的证据方差恒为 $1/(4n)$ （Prop. 3）、pass@ $k$ 的弧长梯度是一个众数在 $\arcsin(1/\sqrt{2k})$ 、方差 $1/(4k)$ 的高斯（Prop. 4）。
推论：Corollary 1 把「采样器」和「目标」对上号——采样权重 $w(\psi)$ 固定时，GRPO 在上升 $\sum_q F_w(\psi_q)$ ，其中 $F_w(\psi)=2\int_0^\psi w(u)\,\omega_G(u)\,du$ 。均匀采样还原出 Davis & Recht 的 arcsine 目标，弧长上的高斯 $w$ 还原出「通过率超过 $\sin^2\psi^\star$ 的题数」的平滑计数。
方法：ARCUS = 弧长 Kalman 信念 + 目标匹配高斯核 × 有信息组概率 + frontier pacing，全部闭式，不花一次 rollout 做预测。
证据：三个 backbone、六个数学基准、表 1 里八个对照方法，外加 Dr.GRPO / DAPO / RLOO 三种损失、 $G\in\{4,8,16\}$ 、两个额外 backbone 与第二个训练池。

2 方法详解

架构：一个只替换采样器的插件

ARCUS 插在 GRPO 的 prompt 采样阶段（论文图 2、Algorithm 1）。Eq. 1 的 advantage、裁剪代理目标、优化器一行不改。每道题持有一个信念 $\psi_q\sim\mathcal{N}(\mu_q,P_q)$ ，初值取 Jeffreys 先验在弧上的矩 $\mathcal{N}(\pi/4,\pi^2/48)$ ，观察过 100 道题之后换成经验 Bayes 先验。每一步：

预测： $\mu_q\leftarrow\Pi[\mu_q+v_t\sin 2\mu_q]$ ， $P_q\leftarrow P_q+Q_t$ 。漂移项 $v_t\sin 2\mu_q$ 来自「logit 空间一次共享能力增益 $\delta x$ 会把 $\psi$ 推动 $\frac{\delta x}{4}\sin 2\psi$ 」的推导（附录 B.6），两端不动、中间动得最快； $v_t$ 与 $Q_t$ 用新息的矩匹配在线拟合（Mehra 1970）。
更新：观测到 $m$ 个成功，走一次标量 Kalman。 $0<m<G$ 时用 Anscombe 估计 $\hat\psi_{\mathrm A}=\arcsin\sqrt{(m+3/8)/(G+3/4)}$ 、观测方差 $R=1/(4G+2)$ ； $m=0$ 或 $m=G$ 时直接取 $z=0$ 或 $\pi/2$ 、 $R=1/(2G)$ ——零方差组不是废证据，它是一条边界层似然，把信念往死区里拉。
打分： $s_q(\psi^\star)=\kappa_q(\psi^\star)\,\hat y_q$ ，核重叠 $\kappa$ 与目标高斯做闭式卷积（分母里加上 $P_q$ ，少见的题窗口自动变宽）， $\hat y_q=1-\big(e^{-G\mu_q^2/a_q}+e^{-G(\pi/2-\mu_q)^2/a_q}\big)/\sqrt{a_q}$ ， $a_q=1+2GP_q$ 。
采样：按 $\log s_q/T$ 做 Gumbel-top- $M$ ， $M=\lceil(1+\rho)B\rceil$ （默认 $\rho=0.25$ ）。
选目标：在 41 个目标的网格 $\Psi$ 上预测候选产出 $\widehat Y_t(\psi)$ ，取满足 $\widehat Y_t(\psi)\geq\max_{\psi'}\widehat Y_t(\psi')-\varepsilon$ 的最难目标，每步位移不超过 $\Delta=0.005$ rad；warm-up 期间钉在 pass@1（ $\psi^\star=\pi/4$ ）。
后选： $M$ 个候选全部更新信念，有信息组按分数取前 $B$ 个进 GRPO 更新。

关键创新点：三个启发式选择被几何一次性定死

论文 §1 把已有的 predict-then-select 方法一锅端成一句话：它们在三个选择上各拍一次脑袋——用什么坐标比通过率（原始 $p$ 还是 logit）、偏好区间多宽、目标定在哪（通常钉在 $p=0.5$ ）。ARCUS 的立场是这三个都不是自由的：

“These choices are not free, because GRPO has already fixed a geometry: its normalization makes the population update ascend $\sum_q 2\arcsin\sqrt{p_q}$ .” —— §1 Introduction

§4 的「Existing selectors as special cases」把九个基线逐个定位成「三个选择里错了一个」：Foster et al. 的 learnability sampling 用 $p(1-p)$ ，等于 $\tfrac14 H_1(\psi)^2$ ，即一个 pass@1 核被从 $\sigma=1/2$ 收窄到 $1/(2\sqrt2)$ ；CurES 的 $\sqrt{p(1-p)}$ 是 $\tfrac12 H_1$ ；FG-ExPO 在原始 $p$ 上放高斯，换到弧长后宽度随 $\sigma_p/\sin 2\psi$ 变，形状由参数化决定而不是由目标决定；logit 空间的 Kalman 滤波（KGPS）恰好选在零方差证据噪声无界的那一个坐标上。我按论文给的公式复算了一遍：把 $H_1(\psi)=\sin 2\psi$ 代入， $p(1-p)=\sin^2\psi\cos^2\psi=\tfrac14 H_1^2$ 成立； $H_1$ 在 $\pi/4$ 附近的 Laplace 高斯是 $\sigma=1/2$ ，平方后是 $1/(2\sqrt2)$ ；Prop. 4 的 $\sigma(\psi^\star)=\min(\sin\psi^\star,\cos\psi^\star)/\sqrt2$ 在 $k=1,1.5,2,3,4,8,16$ 上与 $1/(2\sqrt k)$ 逐位相等。这套代数我自己验过，是自洽的。

第二个创新是把「目标」本身做成了可调旋钮。 $p^\star=1/(2k)$ ： $k=1$ 落在 $0.5$ ， $k=8$ 落在 $0.0625$ 。目标越难，覆盖越好，代价是逼近下死区、产出掉下去（表 9：pass@8 的产出只有 47%）。pacing 规则把这件事变成一个约束满足问题：在产出不低于最优减 $\varepsilon$ 的前提下，取最难的那一档。

与基线方法的区别

分两族。evaluate-then-filter（DS、GRESO）先生成再丢：DS 一直生成到凑满 $B$ 个有信息组为止，本文实测 ×2.41–2.94 倍 rollout、41% 产出。predict-then-select（GCS、AdaRFT、CurES、MoPPS、DPS、KGPS）预测通过率再挑：不额外花 rollout，但坐标、宽度、目标三件事全靠拍。ARCUS 站在第二族的位置上（rollout-free），把三件事交给几何，并额外加了一件两族都没做的事——在生成之前就把浪费预测出来（Prop. 7：期望浪费组数 $\leq GM\big(1-\max_\psi\widehat Y_t(\psi)+\varepsilon\big)$ ）。

3 实验结果

主要指标

三个 backbone 都训在 DAPO-Math-17k 上， $B=256$ 、 $G=8$ 、300 次更新、lr $10^{-6}$ 、无 KL，评测 AIME24/25（各 30 题，mean@32）、AMC23（40 题，mean@16）、MATH500 / Minerva / OlympiadBench（mean@4），三个 seed。

方法	Roll.	1.5B	7B	Qwen3-4B-Base
Base	–	19.2	26.8	29.7
GRPO	×1.00	34.8	44.1	46.3
KGPS（最强预测式基线）	×1.00	36.3	45.7	47.8
DS（最强总基线）	×2.41–2.94	36.5	45.7	48.0
ARCUS $\rho{=}0$	×1.00	37.0	46.2	48.5
ARCUS	×1.25	37.6	46.9	49.2

论文摘要的两个 headline 都站得住：相对 GRPO +2.8 / +2.8 / +2.9，相对 DS +1.1 / +1.2 / +1.2，且 单位是百分点而不是比值（ $37.6-34.8=2.8$ ，不是 $37.6/34.8-1$ ）。rollout 侧的 48–57% 也算得回来：表 2 是 $1.48\text{M}\to0.77\text{M}=48.0\%$ ，按各 backbone 的倍率算是 $(2.94-1.25)/2.94=57.5\%$ （1.5B）到 $(2.41-1.25)/2.41=48.1\%$ （7B）。

效率那张表值得单独看一眼：DS 从 41.6 小时降到 24.1 小时，只省了 42.1%，比 rollout 的 48% 少——因为 policy update 那 5.5 小时和 reward 计算不随采样缩。token 侧省 50.4%（1.33B→0.66B）。摘要那句「达到 DS 最终精度只需 0.45M rollout」= DS 的 30.4%，与「70% fewer」一致。

与 SOTA 的对比：逐列看，MATH500 是例外

摘要写「三个 backbone 上平均最好」，逐列拆开则是另一种形状：ARCUS 在 AIME24 / AIME25 / AMC23 / Minerva / Olympiad 五列上都是第一，MATH500 这一列三个 backbone 全部输给 DS（75.2 vs 75.3、81.8 vs 81.9、85.1 vs 85.3）。论文自己点破了这一点：

“gains concentrate on hard benchmarks … but $+1.4$ on MATH500, where DS stays best on every backbone, as expected from a target that spends the budget on prompts the policy cannot yet solve reliably.” —— §5.2 Main Results

换成「逐列对 DS」的口径，余量的分布是另一幅图：AIME24 上 +1.6 / +2.0 / +2.0，AMC23 上 +1.9 / +1.8 / +1.8，而 Minerva 上只有 +1.1 / +0.7 / +1.1，MATH500 是负的。也就是说，相对 DS 的逐列余量在 $-0.2$ 到 $+2.0$ 之间，平均下来才是摘要里那句 +1.1~+1.2；摘要选的 +2.8 是相对 GRPO 的平均值，把两件事合成了一个数。

显著性：n=3 的 seed 标准差该怎么读

表 7 报三个 seed 的均值和标准差，正文写「ARCUS 对 DS 的优势在每个 backbone 上都超过三个标准差」。我按差值标准误重算了一遍：

backbone	差值	Arcus s.d.	DS s.d.	$\text{SE}_\text{diff}$	$z$	差值 ÷ Arcus s.d.
1.5B	1.15	0.29	0.33	0.439	2.62	3.97
7B	1.20	0.27	0.30	0.404	2.97	4.44
Qwen3-4B	1.20	0.28	0.31	0.418	2.87	4.29

「超过三个标准差」在两种单侧读法下都成立（3.48–4.44）。按两样本差值的标准误则是 $z=2.62$ – $2.97$ ； $n=3$ 时 $t$ 检验自由度约 4，临界 2.776，于是 1.5B 那一档不过线、另两档勉强过。再叠一条： $n=3$ 估出来的标准差本身有约 50% 的相对误差，「ARCUS 的方差是全场最低」这个结论同样落在这个噪声带里。

消融：证明了稳健性，没有证明归因

把表 3 与表 8 合起来看，除掉「加大候选余量」的 $\rho=0.50$ （47.02）这一档，其余改动后的配置落在 45.87–46.71。两个数摆在一起：

组内极差 0.84（46.71 − 45.87）；
组间差（对 GRPO 44.08 的余量）1.79–2.63。

差一个量级，说明这张消融表能证的是「拆掉任何一个部件都不会崩」，不是「几何贡献了那份收益」。更具体一点：论文自称最关键的核部件是死区因子 $\hat y$ （去掉 −1.03），可去掉它之后的 45.87 对 DS 的 45.70 只领先 0.17 分，低于上表的标准误。「最关键部件」的判定与「去掉它还赢不赢基线」不是同一件事。

另一处：论文说「Geometry matters most」，依据是换成原始 $p$ 上的高斯掉 0.69、换成 logit Kalman 掉 0.96。这两个数都小于对 GRPO 的总余量 2.82，也小于换成奖励反馈式 pacing 的 0.85 与去掉死区因子的 1.03。

三处我自己核过的账

（一）headline 的 +2.8 里，有多少是「剔掉零方差组」这一件事？

Corollary 1 对 DS 的判断是「只重标定、不改方向」，理由是零方差组的梯度逐条为零，丢掉它们不改变求和。按这个逻辑往下推一步：GRPO 每步 256 个 prompt 里约 47% 有信息，即约 120 个有信息组；DS 凑满 256 个；ARCUS 是 $320\times79\%\approx253$ 个。ARCUS 与 DS 的每步有信息组数几乎相同（253 vs 256），两者相对 GRPO 都约 2.1 倍。 于是表 1 里 GRPO→DS 的 +1.6~+1.7 与 ARCUS→DS 的 +1.1~+1.2，账面上属于两种不同性质的收益：前者是「把分母里那 53% 零梯度项拿掉」，后者才是「挑题挑得更好」。摘要选了 +2.8 这个合并后的数。

这里有个论文没补的对照臂：如果「剔零方差」真是纯重标定，那么一个「GRPO 但只把零方差组从分母里去掉、并相应放大步数」的配置应当能复现 DS 的大部分收益；反过来，一个「DS 但把有信息组的权重缩到与 GRPO 同尺度」的配置能把它剥掉。两条臂都不在实验里。

补一句更细的：Corollary 1 对 DS 的「只重标定」结论，成立在「先均匀采一批、再把零方差组从平均里剔除」这个读法下。而附录 E 里 DS 的实现是「生成候选 batch 直到凑满 $B$ 个有信息组」——这是拒绝采样，隐含权重 $\propto 1-z_G(\psi_q)$ ，本身就是一条以 $\pi/4$ 为中心、两侧各宽约 $1/\sqrt G$ 的软窗。两种读法差一个 $w(\psi)$ ，论文没区分。

（二）pacing 落点超出了它自己的浪费预算。

附录 B.8 在锐信念假设下解出 $z_G(\psi)=2^{1-G}+\varepsilon$ 。把表 10 的实测落点代回精确式 $z_G=\cos^{2G}\psi+\sin^{2G}\psi$ ：

$G$	实测 $p^\star$	$z_G$	封闭形式前沿	$z_G$	预算 $2^{1-G}+\varepsilon$	实测/预算
4	0.43	0.1397	0.40	0.1552	0.1550	0.90×
8	0.29	0.0646	0.34	0.0362	0.0378	1.71×
16	0.18	0.0418	0.20	0.0281	0.0300	1.39×

论文用「与封闭形式前沿相差不超过 0.05」来报告吻合度（ $|0.34-0.29|=0.05$ ，成立的）。换到它声称要控制的那个量上，同一个偏差是 1.71 倍——因为 $z_G$ 是 $\psi$ 的指数函数， $p$ 轴上差 0.05 在 waste 轴上不是同一个量级。「差几个百分点」与「超支多少」是两件事，pacing 的 $\varepsilon$ 是后者。

（三）「期望更新在弧长上均匀」在 $G=8$ 上成不成立？

我把 $\omega_G(p)=\mathbb{E}_{m\sim\mathrm{Bin}(G,p)}[\sqrt{m(G-m)}]/(G\sqrt{p(1-p)})$ 直接算了一遍（与论文表 4 的 min 值 0.51 / 0.70 / 0.85 / 0.94 对上，说明实现一致）。 $G=8$ 时 $p\in[0.1,0.9]$ 上 $\omega_8$ 从 0.698 到 0.928，起伏 1.33 倍； $G=4$ 是 1.59 倍。「均匀」严格说是 $G\to\infty$ 的极限性质。

把范围收窄到 pacing 真正走过的区间， $[0.2,0.5]$ 上 $\omega_8$ 是 0.843–0.928，只差 1.10 倍；在默认落点 $p^\star=0.29$ 处 $\omega_8=0.8958$ ，比 $p=0.5$ 处的 0.9278 低 3.5%。所以这条几何在本文的工况下是够用的，「均匀」两个字只有在把两端斜坡也算进来时才需要打折。这一条我原本准备当批判写，代入实际区间后不成立，改成实测量。

4 个人分析

亮点

第一，Corollary 1 是本专栏二十六期里第一次见到「采样器 = 目标」被写成一条可执行判据。 Davis & Recht 说的是 advantage 决定目标，本文补上了对称的半边：采样权重 $w(\psi)$ 同样决定目标，而且不花那份零方差组的钱。两半边还能合成——pass@ $k$ 的 advantage 配 pass@ $k$ 匹配的采样器，论文留给未来工作。这条推论的可操作之处在于它把「课程」这个一直靠手感的东西变成了一个可调参数族上的点。

第二，零方差组被重新定义成证据而不是垃圾。 现有方法里它要么被丢（DS）、要么被跳过（GRESO）、要么被想办法救活（Le et al.、Liu et al.）。ARCUS 给它一条边界层似然 $\cos^{2G}\psi$ 或 $\sin^{2G}\psi$ ，直接进 Kalman。消融给了对照：改用 Anscombe 估计处理零方差组要付 0.57 分，因为死题的信念停在 $p\approx0.04$ 而不是塌进死区（表 8）。这是全篇最便宜的一个改动——不用多采一条 rollout。

第三，stale-easy 偏差被写成了可测的量。 Prop. 5 给出：不带漂移的信念，当前弧长会比信念高 $\frac{\delta\Delta}{4}\sin 2\psi$ ，通过率高 $\delta\Delta\,p(1-p)$ 。代入 $\delta=0.01$ 、间隔 $\Delta\approx66$ ，一个被记成 $p=0.5$ 的题实际已在 0.67。图 4d 用实测印证：MoPPS 与 KGPS 漂到真实通过率 0.75–0.8 的题上，ARCUS 的中位数守在 0.5 附近而下四分位伸向更难的题。把「历史方法会偏」从观察变成一条有系数的公式，是这一篇最硬的部分。

局限性

适用范围写在自己的 Limitations 里：二值奖励 + 标准差归一化。去掉标准差的 Dr.GRPO、RLOO 换了一套核（附录 C 除以 $\sin 2\psi$ ），收益从 +1.20 掉到 +1.06 / +1.09；连续奖励要先二值化。 $G\leq3$ 时两条死区盖住大半条弧，任何选择器都难办。
规模：数学推理、模型不超过 7B、 $G\leq16$ 。代码与 agent 任务没测，而论文结论部分恰恰声称这套几何适用于「任何二值验证器」。
单一全局漂移：作者自己在 Failure modes 里承认「强异质迁移下，单个全局漂移低估了进步快的主题的移动速度」。
超参的选择集很小：附录 E 写明 ARCUS 的超参是在 Qwen2.5-Math-1.5B 上用 500 道留出 DAPO 题选出来的。500 题、单一 1.5B backbone，然后固定到全部 backbone 与池子。附录 F 的敏感性扫描显示「每个被测值都赢 DS」——按上面的同一条判据，这证明的是稳健性下界，不是最优性。
warm-up 占掉 18% 的步数： $\lceil N/M\rceil\approx54$ 步，占 300 步的 18%，这段时间信念几乎无信息、采样近乎均匀（表 14：默认先验下 warm-up 产出 51%，只比 GRPO 的 47% 高 4 个点）。
MATH500 上三战皆负：论文给了解释（目标把预算花在还做不出来的题上），解释成立，但它是这条目标选择规则的直接代价，不是意外。

对大模型领域的影响

这一篇真正的位移不在 +2.8 这个数上，而在它把「prompt 课程」的定义换了：过去排难度（easy-to-hard、学习进度、 $p(1-p)$ ），这里排目标—— $\psi^\star$ 在 pass $^k$ ↔ pass@ $1$ ↔ pass@ $k$ 这条族上滑动，滑多快由 waste 预算决定，easy-to-hard 是涌现出来的副产品（图 4a）。这带来一个可复用的判断句式：当有人给你一条 prompt 课程时，先问它在优化哪个目标，再问它为此付了多少浪费。 论文把这两个问题都做成了闭式可算的量。

与本专栏的关系上，它也给了主线一个新坐标。前二十五期一直在动训练信号本身——挑哪些 token（TrimSFT、IER）、挑哪些轨迹（DART-SD、SPADE）、信用分配怎么记账（PACT、BPO、CRR）。ARCUS 问的是另一层：在信号口径完全不动的前提下，光靠改变「哪些题进入这一步」，能拿走多少。答案是 +2.8，其中约 1.6 来自与 DS 共享的「剔零方差」效应，1.2 来自挑题本身。

5 实践启示

可以借鉴的技术

Anscombe 变换 + 边界层似然： $\hat\psi_{\mathrm A}=\arcsin\sqrt{(m+3/8)/(n+3/4)}$ 配 $R=1/(4n+2)$ ，零方差组改用 $\cos^{2n}\psi$ / $\sin^{2n}\psi$ 而不是继续用点估计。这一条与任何需要跟踪「通过率」的系统正交——数据集难度画像、评测集题目分拣、agent 环境的可解率台账都能直接用。实测收益：通过率预测误差 0.17（logit Kalman）→ 0.12（折扣 Beta）→ 0.09（ARCUS）。
把「陈旧」写成带系数的公式：凡是「上次见到时是中档，现在变简单了」这类偏差，都能套 Prop. 5 的形式 $\Delta p\approx\delta\Delta\,p(1-p)$ ，然后用一个乘性漂移项抵掉。这个模板不依赖信息几何，只要有「共享能力增益」的假设就能用。
Gumbel-top- $M$ 而不是贪心：消融里 $T=0$ （贪心）掉 0.53、 $T=1$ （按分数比例采）掉 0.68，默认 $T=0.3$ 。在「用带噪声的估计去挑样本」这件事上，保留一点随机性是免费的。
把预测产出与实测产出同框监控：附录 G 的 Practical recommendations 里唯一一条诊断建议——两者持续有差距就说明信念没校准，通常是漂移估计还没收敛。这是可以当天加进训练看板的指标。
先算再花：Prop. 7 那句「predicting waste before paying for it」值得单独抄走。任何「先生成一大堆再筛」的流程，都值得问一句这个筛选能不能在生成之前用闭式量预测出来。

潜在应用场景

RLVR 训练池的日常运营：ARCUS 是 verl 里替换 sampler 的一层，300 步合计只多花 0.01 小时（表 6 的 Select 列），对 17k 池子每步约 0.05 秒 CPU。算力紧张时先上 $\rho=0$ （表 1 里保住大部分收益且与 GRPO 等 rollout），算力宽裕时用 $\rho=0.25$ 。
pass@ $k$ 优先的场景：表 9 给了一张直接的旋钮表——目标从 pass $^4$ 滑到 pass@ $4$ ，pass@16 从 64.9 单调升到 69.8，而 pass@1 在 pass@1 与 pass@2 之间见顶。要做覆盖（数据合成、self-consistency 采样池）就往右拧，要做单次可靠性就往左拧。论文自己说 pacing 落在 pass@1 上比任何固定目标都好、pass@16 上只差最好的固定目标 0.2。
评测集构建：弧长坐标本身就是一条「题目难度」的天然刻度——Jeffreys 先验在弧上均匀，通过率的 Fisher 信息恒为 4。用它排评测集比用原始通过率更接近「信息量」而不是「概率差」。
agent 与代码环境：论文 Limitations 里没测的那一半。凡是「一组 rollout 全成功或全失败」的环境（单元测试全绿、终端任务全成），二元几何照搬，代价是要先决定连续奖励怎么二值化。